极限和无穷大

当 x 趋近无穷大时，这个函数的极限是什么？

若 "x" 越来越大，"2x" 也越来越大：

所以当 "x" 趋近无穷大时，"2x" 也趋近无穷大。我们这样写：

无穷大和次方

实际上，很多无穷大的极限是很容易求的，只要我们知道函数的 "走势"，像这样

• 当 x 趋近无穷大时,像 1/x 的函数趋近 0 。像 1/x² 等的函数也一样。
• 像 x 的函数会趋近无穷大，2x 或 x/9 等函数也一样。同样，含有 x² 或 x³ 等的函数也会趋近无穷大。
• 但要小心，函数 "−x" 趋近 "负无穷大"，所以我们要留意 x 的正负号。

例子： 2x²−5x

• 2x² 趋近 +无穷大
• −5x 趋近 −无穷大
• 但 x² 增加得比 x 快，所以 2x²−5x 会趋近 +无穷大

如果我们留意函数的 次方数 （函数里最高的 指数），我们便可以知道答案：

如果函数的次数是：

• 大于 0，极限是无穷大（或 −无穷大）
• 小于 0，极限是0

但是，如果次方数是 0 或未知值，情形便会复杂一点。

有理函数的次方

有理函数 是两个多项式的比：$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$$

例如，在这里: $$ \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{x^3 + 2x - 1}{6x^2} $$

根据上面 方程的次方数 概念，求极限的第一步是……

比较 P(x) 和 Q(x) 的次数：

• 如果 P 的次数小于 Q 的次数：则极限是0
• 如果 P 的次数等于 Q 的次数：用最高指数的项的系数相除，像这样：$$\lim_{x\to ∞}\frac{5x^2 + 1} {3x^2 - x} = \frac{5}{3} $$
• 如果 P 的次数大于 Q 的次数：极限是正无穷大，或负无穷大。不要忘了看正负号！要确定极限是正还是负，我们看有最大指数的项的正负号，好像在上面找系数一样：$$\frac{x^3 + 2x - 1}{6x^2}$$ 上面有最大指数的项 和 下面有最大指数的项 都有正号； $$\frac{-2x^2 + x}{5x - 3} = \frac{-2}{5}$$ 这个函数的极限是负无穷大，因为 -2/5 是负数。

求 "e"

有一个 e （欧拉数） 的公式是基于无穷大和这个公式的：

所以我们不求 "取无穷大" 的值，我们尝试用越来越大的 n值：

结果趋近 2.71828...，这就是 e （欧拉数） 的值。

我们又看到这个现象了：

• 我们不知道函数在 n=无穷大 的值
• 但我们看到结果趋近 2.71828……

因此，我们用极限来表达答案：

当 n 越来越大时，答案便越来越接近 e

不要犯错 …… !

我们看到当 n 越来越大时，函数趋近 2.71828……

但如果我们想把无穷大当作一个 "很大的实数" （它不是！），我们会得到：

(1+1/∞)^∞ = (1+0)^∞ = (1)^∞ = 1  （大错特错！）

所以，不要把无穷大当作一个实数：你会得到错误的答案！

极限才是正途。

无穷大的特别属性

未定义运算

以下的运算都是"未定义的"：