极限入门

极限是关于"趋近"的。有时我们不能直接计算一个事物的值，可是我们可以去看看越来越接近它时的情形！

趋近……

有时我们不能直接计算某个值……可是我们可以去看看逐渐接近它时的情形！

0/0 不好做！没有人知道 0/0 是多少（它是 "不确定的"），所以我们要另辟蹊径。

我们不直接求当 x=1 的值，我们 趋近 它来看看：

这很有趣：

• 当 x=1，我们不知道答案（它是不确定的）
• 但我们也知道答案越来越接近 2

我们想说："答案就是 2"，但我们不能这样说，所以数学家用一个特别的名词来形容这种情况："极限"

用符号来写就是：

我们可以这样理解： "不管在那里是什么，当 x 越来越接近 1 时答案便越来越接近 2"，在图上是下面这样的：

因此，实际上我们不能说当 x=1 时的值是多少。但我们可以说："趋近 1 时，极限是 2"

两边都检验

就像想看山顶是什么样的……

……如果我们只看山的一边，我们是看不到所有景象的。

所以我们需要从两个方向都检验，来确定答案 "应该" 是多少！

两边的答案不一样

如果函数 f(x) 有个"间隙"，像这样：

我们不能说在 "a" 的值是多少，因为有两个可能答案：

• 3.8 （从左边）
• 1.3 （从右边）

我们可以用特定的 "−" 或 "+" 符号（如下）来为一边的极限下定义：

• 左边 的极限（−）是 3.8
• 右边 的极限（+）是 1.3

但一般的极限"不存在"

只有复杂的函数才有极限吗？

就算我们真的知道函数在一点的值，我们也可以用极限！不一定要是复杂的函数.

趋近无穷大

无穷大 是个很特别的概念。我们知道不能达到无穷大，但我们可以尝试去求含有无穷大的函数的值。

我们先看一个有趣的例子。

 为什么不知道？

简单的答案是：无穷大不是个数，它是个概念。

所以 $$\frac{1}{∞}$$ 就好像 $$\frac{1}{美}$$ 或者 $$\frac{1}{高}$$一样。

我们也许可以说 $$\frac{1}{∞}$$ …… 但这样也不对，因为如果我们把 1 切开成无穷多的小部分而每个部分是 0，那么整体怎么会是 1 呢？

但我们可以趋近它！

我们无法计算在无穷大的值（因为得不到合理的答案），我们尝试越来越大的 x值：

当 x 越来越大时，$$\frac{1}{x}$$越来越接近 0

这很有意思：

• 我们不能说 "当" x 是无穷大时的情形是什么
• 但我们可以看到 $$\frac{1}{x}$$ 趋近 0

我们想说答案是 "0"，但我们不可以，所以数学家用特定名词 "极限" 来表达这种情形：

记作：

总结

所以，有时我们不能直接用无穷大，但是我们可以用极限，看下面两种表述方式：